Уявімо, що вчитель перевірив контрольну роботу п’яти учнів. Вони отримали такі оцінки:
6, 7, 7, 8, 12
Як зрозуміти, який результат найкраще характеризує успішність всього класу? Які дії потрібно виконати для подібного аналізу?
Можна скласти всі оцінки й поділити суму на їхню кількість та знайти середню оцінку класу.
Можна знайти число, яке стоїть посередині впорядкованого списку оцінок.
Можна визначити оцінку, яку учні отримували найчастіше.
У кожному випадку ми отримаємо свій, трохи інший показник:
Середнє арифметичне — 8
Медіана — 7
Мода — 7
Чому відповіді різняться? Тому що кожен показник описує набір даних по-своєму.
Середнє арифметичне враховує всі значення в наборі даних та показує середнє значення набору, медіана показує центральне значення впорядкованого набору, а мода допомагає визначити те, яке значення трапляється найчастіше.
Усі три показники належать до мір центральної тенденції. Вони допомагають описати набір даних, але роблять це по-різному. Щоб зрозуміти, чим вони відрізняються, розгляньмо на конкретних прикладах, як працює кожен показник.
Середнє арифметичне, медіана та мода: чим вони відрізняються?
| Показник | Що показує? | Як обчислити? |
|---|---|---|
| Середнє арифметичне | Середню величину значень з набору даних | Додати всі числа й поділити суму на їхню кількість |
| Медіана | Центральне значення впорядкованого набору даних | Упорядкувати числа й знайти одне або два центральні значення |
| Мода | Значення яке трапляється найчастіше | Порахувати скільки разів зустрічається кожне значення в наборі |
Пропонуємо порівняти всі ці показники на ще одному прикладі.
Візьмімо набір чисел:
4, 6, 6, 7, 9, 12, 15
Середнє арифметичне —
середнє значення в наборі.
4, 6, 6, 7, 9, 12, 15
Сума чисел — 59. Ділимо її на 7 і отримуємо приблизно 8,4.
Медіана —
значення посередині.
4, 6, 6, 7, 9, 12, 15
У наборі сім чисел, тому посередині стоїть 7.
Мода —
найпоширеніший варіант.
4, 6, 6, 7, 9, 12, 15
Число 6 трапляється двічі, а всі інші — по одному разу. Отже, мода дорівнює 6.
Давайте розглянемо кожен з цих показників трохи детальніше.
Що таке середнє арифметичне?
— це сума всіх значень, поділена на їхню кількість.
Воно показує усереднене значення усіх показників.
Як обчислити середнє арифметичне?
Середнє арифметичне = сума всіх значень / кількість всіх значень
Розгляньмо приклад.
Уявімо, що п’ять учнів отримали за контрольну роботу:
| Ім’я учня | Оцінка |
|---|---|
| Анна | 6 |
| Максим | 7 |
| Софія | 7 |
| Андрій | 8 |
| Марія | 12 |
Отже, виконуємо наступні дії:
6 + 7 + 7 + 8 + 12 = 40
40 / 5 = 8
Отже, середній бал — 8.
Чи отримав хтось у класі 8 балів? Так, один учень отримав 8, але навіть якби такої оцінки не було, середнє арифметичне все одно могло б дорівнювати 8. Воно не обов’язково збігається з одним із чисел у наборі.
Коли використовують середнє арифметичне?
Цей показник підходить, коли потрібно врахувати всі числові значення та визначити їхню середню величину. Коли саме це може знадобитись в реальному житті?
Водночас середнє арифметичне чутливе до дуже великих або малих значень. Якщо один результат суттєво відрізняється від решти, він може помітно змінити результат. В такому випадку корисним будуть інші показники центральної тенденції.
Що таке медіана?
— це центральне значення впорядкованого набору даних.
Щоб її знайти, спочатку потрібно розташувати всі числа за зростанням або спаданням.
Спосіб обчислення медіани залежить від кількості значень у наборі.
Якщо кількість чисел непарна:
Розгляньмо набір: 3, 5, 7, 8, 11.
Числа вже впорядковані. Посередині стоїть 7: ліворуч від нього два числа, і праворуч також два.
Отже, медіана дорівнює 7.
Якщо кількість чисел парна:
Розгляньмо набір: 4, 6, 8, 10.
У ньому немає одного центрального числа. Посередині розташовані 6 і 8, тому потрібно знайти їхнє середнє арифметичне:
(6 + 8) / 2 = 7.
Отже, медіана дорівнює 7.
Непарна кількість чисел — знайдіть одне центральне значення.
Парна кількість чисел — обчисліть середнє арифметичне двох центральних значень.
Коли використовують медіану?
Медіана особливо корисна, коли в наборі є дуже великі або малі значення, які, наприклад, можуть спотворити середнє арифметичне.
Давайте розглянемо декілька прикладів, коли ще можна використовувати медіану.
Більшість квартир у певному районі коштує від 1,5 до 3 мільйонів гривень, але кілька елітних помешкань коштують набагато дорожче. Через них середнє арифметичне може виявитися значно вищим за ціну більшості квартир.
Медіана показує ціну, яка стоїть посередині впорядкованого переліку. Тому вона часто краще описує типовий рівень цін на житло.
В яких випадках ще можна використати медіану:
Проте, варто враховувати, що медіана не показує, наскільки сильно значення відрізняються одне від одного. Два набори можуть мати однакову медіану, але зовсім різний розкид даних.
Що таке мода?
— це значення, яке зустрічається в наборі даних найчастіше.
На відміну від середнього арифметичного та медіани, для її визначення не потрібно виконувати ділення всіх доданих значень на їх кількість або шукати центральне число.
Давай розглянемо приклад із магазином.
Припустімо, що протягом п’яти годин магазин продавав таку кількість пляшок лимонаду: 12, 15, 15, 17 і 20 (за кожну годину).
Число 15 трапляється найчастіше, точніше двічі, тоді як решта значень повторюються лише один раз. Отже, мода цього набору даних — 15 пляшок.
Набір даних може мати різну кількість мод:
Коли використовують моду?
Мода допомагає визначити найпоширеніше значення або найпопулярніший варіант серед набору даних. Її можна використовувати не лише для чисел, а й для категорій.
Давайте розглянемо декілька прикладів, коли можна використовувати моду:
Мода особливо зручна, коли потрібно визначити популярний варіант, а не обчислити середню величину.
Що станеться, якщо додати до набору надзвичайно велике або мале число?
Середнє арифметичне, медіана й мода по-різному реагують на зміни в наборі даних. Щоб побачити цю різницю, порівняймо два набори.
Набір 1:
5, 6, 6, 7, 8
Набір 2:
5, 6, 6, 7, 80
У другому наборі число 8 замінили на 80. Давайте подивимось, як це вплинуло на всі три показники.
| Показник | Набір 1 | Набір 2 |
|---|---|---|
| Середнє арифметичне | 6,4 | 20,8 |
| Медіана | 6 | 6 |
| Мода | 6 | 6 |
В результаті:
Дуже великі або малі значення, які помітно відрізняються від решти даних, називають статистичними викидами. Вони можуть суттєво впливати на середнє арифметичне.
Даний приклад не говорить про те, що медіана або мода завжди кращі в таких випадках. Ці показники описують дані по-різному. Середнє арифметичне показує середню величину з урахуванням усіх даних з набору, що також часто може бути корисним, медіана ж — показує центральне значення, а мода — найпоширеніше.
Який показник обрати, залежить від того, що саме вам потрібно з’ясувати.
Коли найкраще використовувати середнє арифметичне, медіану, а коли моду?
У різних ситуаціях корисними можуть бути різні показники. Вибір залежить від типу даних і запитання, на яке потрібно відповісти.
Давайте розглянемо декілька прикладів і вирішимо, який показник буде найбільш доречним в кожній ситуації.
| Приклад | Показник | Чому? |
|---|---|---|
| Потрібно обчислити середній результат контрольної роботи | Середнє арифметичне | Враховує всі оцінки учнів |
| Потрібно визначити типовий рівень цін на квартири серед яких є кілька дуже дорогих об’єктів | Медіана | Менше залежить від надзвичайно високих цін |
| Потрібно визначити найпопулярніший розмір одягу | Мода | Показує розмір який трапляється найчастіше |
| Потрібно оцінити типовий дохід населення коли кілька людей мають дуже високі доходи | Медіана | Допомагає визначити центральний рівень доходів без значного впливу найвищих сум |
| Потрібно визначити найчастішу відповідь в опитуванні | Мода | Показує варіант який обирали найчастіше |
| Потрібно дізнатися середню кількість годин навчання за тиждень | Середнє арифметичне | Враховує кількість годин кожного учня |
Іноді варто обчислити одразу кілька показників. Наприклад, якщо середня ціна квартир помітно вища за медіану, це може свідчити про те, що кілька дорогих об’єктів впливають на середнє арифметичне. Порівняння показників в даному випадку допомагає краще зрозуміти дані.
Перевірте свої знання
Оберіть одну правильну відповідь у кожному запитанні.
І наостанок…
Середнє арифметичне, медіана та мода допомагають узагальнити набір даних, але кожен показник робить це по-своєму.
Середнє арифметичне враховує всі значення та показує їхню середню величину.
Медіана визначає центральне значення впорядкованого набору.
Мода показує значення, яке трапляється найчастіше.
Щоб правильно обрати показник, подумайте, що саме потрібно з’ясувати: середню величину, центральне значення чи найпоширеніший варіант. Розуміння ізниці між цими показниками допоможе точніше аналізувати оцінки, ціни, доходи та інші дані з повсякденного життя.
Якщо хочете краще розібратися в статистиці й навчитися застосовувати ці показники на практиці, заняття з репетитором з математики допоможуть закріпити ваші знання та більш впевнено розв’язувати задачі.
Підсумувати за допомогою ШІ:
Вам сподобалась ця стаття? Оцініть її!
Loading...
