Синуси, тангенси, гіпотенузи, алгоритми… В усьому різноманітті математичних термінів цілком можливо заплутатись! Але, незважаючи на складність, математику варто знати, тому що це один з найважливіших предметів шкільної програми.
У якийсь момент ви могли заздрити тим маленьким геніям, котрі бачать математичні задачі як веселу гру та запросто запам’ятовують до останньої цифри числа Пі. Але може ви й самі маєте схильність до математики?
Давайте перевіримо! Уявімо математику веселою пригодою! Щоб розібратися в цій науці, давайте підемо слідами її першовідкривачів, спробуємо виявити математичні парадокси та подорожувати між арифметикою, тригонометрією та теорією ймовірності!
Ми підготували для вас декілька цікавих завдань, з яких ви дізнаєтеся про культуру математики та, можливо, захочете передати свої знання іншим.
Логічний парадокс: загальне визначення
Вам не потрібен ступінь магістра або ви не маєте бути математичним генієм, щоб зрозуміти царицю наук – математику. Розуміти основи цієї дисципліни не так складно, як, наприклад, розмірковувати над філософськими висловлюваннями. Навчитися математиці може кожен!
Давайте почнемо з визначень. Термін «парадокс» означає «твердження чи пропозицію, яка, незважаючи на обґрунтоване міркування з прийнятними передумовами, веде до висновку, який здається логічно неприйнятним або суперечливим». Вивчення подібних явищ саме по собі вартує вашого часу!
У світі природи є багато парадоксів, які ще належить вирішити. Але є багато інших, які тепер зрозумілі, та можуть стати корисними для нашого розуміння світу. Деякі з них можуть мати відношення до фізики та хімії, інші – до науки та техніки в цілому. Математичні задачі та парадокси ж, в свою чергу, захоплюють любителів математики.
Фальшиві парадокси
Парадокс Ахілла і черепахи
Прийняття одного простого висновку передбачає прийняття нескінченного числа попередніх аргументів
При першому прочитанні цей парадокс може здатися легким для пояснення, однак розв’язати його математично – це зовсім інша історія. Якщо ви зможете це зробити, подавайте заявку на Міжнародну математичну олімпіаду (IMO) – чемпіонат світу з математики.
Цей «парадокс» — переказ знайомої всім байки про зайця та черепаху. Ще в 5 столітті нашої ери грецький філософ Зенон з Елеї (490 р. до н. е. 430 р. до н. е.) припустив, що якщо дати черепасі фору в змаганні з героєм Троянської війни Ахіллом, він ніколи не зможе її випередити. Щоб наздогнати черепаху, Ахілл повинен спочатку наздогнати її, але щоразу, коли він наздоганятиме черепаху, це створюватиме ще більший розрив. Як би Ахілл не намагався наздогнати черепаху, вона завжди вирветься вперед.
Ахілес ніколи не наздожене черепаху, аж поки не наздожене
Незважаючи на те, що це твердження виглядає абсолютно безглуздим, його досить важко пояснити. Відповідь в тому, як ми сприймаємо простір, час і рух, а також як уявляємо нескінченність.
Спробуйте зрозуміти цей та інші парадокси для прокачування ваших логічних навичок!
Більше математичних загадок тут.
Загадка зниклого квадрата
Ні, це не китайська головоломка! Це прискорений курс геометрії в країні абсурду
Пояснюючи просто, парадокс відсутнього квадрата є логічною математичною гіпотезою, яка, зрештою, спирається на візуальну ілюзію, що приводить нас до неправильного висновку.
При побудові трикутника з декількох геометричних фігур, ці фігури можна переставити так, щоб створити інший трикутник з такою ж висотою та шириною, але однією таємничою областю. Так що ж відбувається в трикутнику?
Математичні головоломки роблять математику веселою. Наочні завдання допомагають дітям вчитися, а вчителям робити заняття цікавішими
Відповідь на цей парадокс досить проста... жоден трикутник не є «істинним». Жоден із «трикутників» не має ту ж саму площу, що й площа його складових.
Існує невелика крива вздовж гіпотенузи побудованої фігури, яку людське око сприймає як трикутник. Маленький порожній простір насправді є лише результатом невеликої деформації ідеального трикутника.
Вам не обов’язково потрібен репетитор з математики, щоб розібратися в цій головоломці!
Згідно з Мартіном Гарднером, головоломку придумав нью-йоркський фокусник-аматор Поль Керрі у 1953. Відтоді загадка була відома під назвою «Парадокс Керрі».
Чи знаєте ви якусь із найбільших математичних таємниць?
Число Пі - одне з найзагадковіших чисел всіх часів!Теоретичні, але не практичні парадокси
Нехай це підтвердить репетитор по математике!
Парадокс Банаха-Тарського
Ця чиста геометрична теорія була продемонстрована в 1924 році, спираючись на аксіому вибору при побудові невимірних множин. Її можна сформулювати наступним чином: тривимірна куля рівноскладена двом своїм копіям. Дві підмножини евклідового простору називаються рівноскладеними, якщо одну можна розбити на скінченне число «шматків» і скласти з них другу.
Це, м’яко кажучи, дивно. Можливо, ви з цим погодитеся. Дійсно, така річ можлива лише в тому випадку, коли ці маленькі шматочки сфери не піддаються вимірюванню (введення об’єму, наприклад, означало б протиріччя). Методологія ще потребує деяких роз’яснень …
Суть парадоксу полягає в тому, що в тривимірному просторі існують невимірні множини, які не мають об'єму, якщо під об'ємом ми розуміємо те, що має властивість адитивності, і припускаємо, що об'єми двох конгруентних множин рівні
Спробуйте відтворити цей парадокс в реальному житті!
Плоска геометрія Неймана
У 1929 році Джон фон Нейман звів своїх сучасників з розуму
Він відійшов від аксіоми вибору, щоб розкласти квадрат на (кінцеву) кількість «множин точок». Потім, завдяки певним перетворенням, що зберегли їх поверхні, він отримав ... не дві сфери, а два квадрати.
Проблема, виявлена цим парадоксом, дозволила Лачковічу в 2000 році пояснити це розкладання внутрішньої частини квадратної одиниці (рівновіддалених обмежених множин).
Парадокс перукаря
Перукар – це той, хто голить тих, хто не голиться сам
Вчителі середньої школи дуже люблять використовувати цей парадокс, оскільки його пояснення полегшує викладання певних предметів учням.
Уявіть собі правило, яке передбачає, що перукар повинен голити всіх і тільки тих, хто не голиться сам. Питання в тому, чи голиться перукар сам? Якщо він голиться сам, він порушує закон, тому що він зобов’язаний голити лише тих, хто не голиться сам. З іншого боку, якщо він не голить свою бороду, він не буде виконувати свою роботу, голячи лише тих, хто не голиться сам.
Це хороший спосіб показати, як раціоналізувати абсурд, чи не так?
Що, якби Земля вивернулася навиворіт?
Нашою наступною зупинкою є диференціальна та лінійна топологія. У 1958 р. С. Смейл сформулював «інверсію (або розворот) сфери». Що це? Закон, який, безсумнівно, розважить студентів-математиків, але, ймовірно, не буде зрозумілим для більшості широких аудиторії...
З розвитком комп’ютерної анімації люди змогли перевернути м’яч навиворіт у нашому тривимірному просторі. Але хто б міг подумати, що одного дня це спричинить справжню технічну революцію?
Контрінтуїція
Парадокс Сімпсона
Ні, нічого спільного з маленькими жовтими анімаційними персонажами на телебаченні!
Статистик Едвард Сімпсон сформулював цей парадокс у 1951 році. Він стосується, здавалося б, суперечливих наборів даних просто тому, що під час їх виведення застосовуються різні критерії.
Для прикладу: для боротьби з певною хворобою у вас є вибір із 2 методів лікування, які двічі перевірені. Під час першого випробування лікування A вилікувало 63/90 осіб (70%), а лікування B вилікувало 8/10 осіб (80%). У другому тесті лікування A вилікувало 4/10 осіб (40%), а лікування B вилікувало 45/90 (50%). Дивлячись на тести окремо, здається, що лікування B має вищий рівень успішності, однак, якщо ми об’єднаємо дані, ми побачимо, що лікування A вилікувало 67/100 осіб (67%), а лікування B вилікувало 53/100 осіб (53). %), тобто лікування А є більш успішним.
Очевидно, що парадокс Сімпсона існує, коли тенденція, наявна в різних групах, змінюється на протилежну, коли ці групи об’єднуються.
Цей парадокс використовувався в багатьох реальних програмах, щоб показати, наскільки результати об’єднаних даних відрізняються від численних окремих тестів.
Кондорсе та методика виборів
Ця ідея була сформульована та походить від революціонера-математика Кондорсе.
Це метод, застосований до системи голосування, за якої виборці оцінюють переваги, які вони отримають, а не голосують за одного кандидата. Кожен можливий кандидат протиставляється кожному в цій системі, причому загальний переможець має перевагу над усіма іншими.
По суті, система Кондорсе дозволяє виборцям «проголосувати за свої справжні уподобання, а не даремно витратити свій голос на кандидата».
Правило простої більшості не в змозі забезпечити транзитивність бінарного відношення громадського уподобання серед варіантів, що обираються
Вирішуючи головоломки та вивчаючи парадокси на уроках математики можна по-справжньому розважитись! Але їх вивчення може бути не тільки цікавим, але корисним заняттям. І ось чому:
- Це розвиває критичне мислення. Парадокси змушують переосмислювати усталені уявлення, що сприяє розвитку критичного мислення.
- Покращує розуміння світу навколо. Математичні парадокси допомагають краще зрозуміти основні принципи математики.
- Навчають логіки. Розуміння парадоксів удосконалює навички логічного міркування.
- Інтелектуальний виклик. Парадокси стимулюють креативне мислення.
- Застосовуються в інших галузях. Знання парадоксів корисне в комп'ютерних науках та інших сферах.
- Історичний контекст. Вивчення парадоксів дає уявлення про розвиток математичних ідей.
Навчайтесь математиці весело разом з Superprof!
А чи знаєте ви, чим «Гра престолів» пов'язана з математикою? Ні? Читайте більше в нашій статті!
Більше цікавого про математику тут.
Вам сподобалась ця стаття? Оцініть її!
Loading...
